Question

已知椭圆:的一个焦点为且过点.

（Ⅰ）求椭圆E的方程；
（Ⅱ）设椭圆E的上下顶点分别为A₁，A₂，P是椭圆上异于A₁，A₂的任一点，直线PA₁，PA₂分别交轴于点N，M，若直线OT与过点M，N的圆G相切，切点为T．
证明：线段OT的长为定值，并求出该定值．

Answer 1

（Ⅰ）.（Ⅱ）线段的长为定值.

试题分析：（Ⅰ） 由题意得，，解得，
所以椭圆的方程为.
（Ⅱ）由（Ⅰ）可知，设，其中，
直线:，令，得；
直线:，令，得.
设圆的圆心为，半径为，
则，
，

而，所以，所以，
所以，即线段的长为定值.
点评：：从近几年课标地区的高考命题来看，解析几何综合题主要考查直线和圆锥曲线的位置关系以及范围、最值、定点、定值、存在性等问题，直线与多种曲线的位置关系的综合问题将会逐步成为今后命题的热点，尤其是把直线和圆的位置关系同本部分知识的结合，将逐步成为今后命题的一种趋势