题目内容
【题目】【2018湖南(长郡中学、株洲市第二中学)、江西(九江一中)等十四校高三第一次联考】已知函数(其中
且
为常数,
为自然对数的底数,
).
(Ⅰ)若函数的极值点只有一个,求实数
的取值范围;
(Ⅱ)当时,若
(其中
)恒成立,求
的最小值
的最大值.
【答案】(Ⅰ) 或
;(Ⅱ)
.
【解析】试题分析:
(Ⅰ)由题意可知函数的定义域为
,其导数为
.由
或
,设
,则
,分类讨论可得当
或
时,
只有
一个极值点.很明显当
时,
只有
一个极值点.当
时,
有
、
、
三个极值点.则当
或
时,函数
只有一个极值点.
(Ⅱ)依题意得,令
,则
,分类讨论:当
时,
,与
恒成立矛盾;当
时,只需
成立,则
,问题转化为求解
的最小值,计算可得
,即
的最小值
的最大值为
.
试题解析:
(Ⅰ)函数的定义域为
,其导数为
.
由或
,
设,∵
,∴当
时,
;当
时,
.
即在区间
上递增,在区间
上递减,∴
,
又当时,
,当
时,
且
恒成立.
所以,当或
时,方程
无根,函数
只有
一个极值点.
当时,方程
的根也为
,此时
的因式
恒成立,
故函数只有
一个极值点.
当时,方程
有两个根
、
且
,
,∴函数
在区间
单调递减;
单调递增;
单调递减;
单调递增,此时函数
有
、
、
三个极值点.
综上所述,当或
时,函数
只有一个极值点.
(Ⅱ)依题意得,令
,则对
,都有
成立.
因为,所以当
时,函数
在
上单调递增,
注意到,∴若
,有
成立,这与
恒成立矛盾;
当时,因为
在
上为减函数,且
,所以函数
在区间
上单调递增,在
上单调递减,∴
,
若对,都有
成立,则只需
成立,
,
当时,则
的最小值
,∵
,∴函数
在
上递增,在
上递减,∴
,即
的最小值
的最大值为
;
综上所述, 的最小值
的最大值为
.
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