题目内容
【题目】已知椭圆:
的左、右焦点与其短轴的一个端点是等边三角形的三个顶点,点
在椭圆上,直线
与椭圆交于
,
两点,与
轴,
轴分别交于点
,
,且
,点
是点
关于
轴的对称点,
的延长线交椭圆于点
,过点
,
分别作
轴的垂线,垂足分别为
,
.
(1)求椭圆的方程;
(2)是否存在直线,使得点
平分线段
?若存在,求出直线
的方程,若不存在请说明理由.
【答案】(1);(2)答案见解析.
【解析】试题分析: (1)由正三角形的高与边长的关系可求出,再由点
在椭圆上,可求出
的值,从而求出椭圆方程; (2)假设存在,由直线方程可求出
点的坐标,由已知条件可求出
点的坐标,设
联立直线与椭圆的方程,消去
,得到关于
的一元二次方程,由韦达定理可求出
的表达式以及直线
的斜率,联立直线
与椭圆方程,可求出
的表达式,进而求出
的表达式, 由
平分线段
,求出
的值,得出直线方程.
试题解析:(1)由题意知,即
,
,即
,
∵在椭圆上,∴
,
所以椭圆方程为
.
(2)存在
设,∵
∴,
∴
①
∴,
联立 ∴
②
∴
∴
∴
若平分线段
,则
即,
, ∴
∵ 把①,②代入,得
所以直线的方程为
或
点睛:本题主要考查了椭圆的方程以及直线与椭圆的位置关系,属于中档题.第一问求椭圆方程很容易,大部分学生能做对; 在第二问中,假设存在, 当点平分线段
,
点为
的中点,利用中点坐标公式,求出
的值,得出直线方程.注意本题涉及的点线位置关系比较复杂,容易弄错.
![](http://thumb2018.1010pic.com/images/loading.gif)
【题目】宁德市某汽车销售中心为了了解市民购买中档轿车的意向,在市内随机抽取了100名市民为样本进行调查,他们月收入(单位:千元)的频数分布及有意向购买中档轿车人数如下表:
月收入 | [3,4) | [4,5) | [5,6) | [6,7) | [7,8) | [8,9) |
频数 | 6 | 24 | 30 | 20 | 15 | 5 |
有意向购买中档轿车人数 | 2 | 12 | 26 | 11 | 7 | 2 |
将月收入不低于6千元的人群称为“中等收入族”,月收入低于6千元的人群称为“非中等收入族”.
(Ⅰ)在样本中从月收入在[3,4)的市民中随机抽取3名,求至少有1名市民“有意向购买中档轿车”的概率.
(Ⅱ)根据已知条件完善下面的2×2列联表,并判断有多大的把握认为有意向购买中档轿车与收入高低有关?
非中等收入族 | 中等收入族 | 总计 | |||||
有意向购买中档轿车人数 | 40 | ||||||
无意向购买中档轿车人数 | 20 | ||||||
总计 | 100 | ||||||
0.10 | 0.05 | 0.010 | 0.005 | ||||
2.706 | 3.841 | 6.635 | 7.879 | ||||
附: