题目内容
【题目】已知圆C经过点,且圆心
在直线
上,又直线
与圆C交于P,Q两点.
(1)求圆C的方程;
(2)若,求实数
的值;
(3)过点作直线
,且
交圆C于M,N两点,求四边形
的面积的最大值.
【答案】(1)x 2 +y 2 =4(2)k=0(3)7
【解析】试题分析:(1)设圆心为,半径为
.故
,建立方程,从而可求圆
的方程;(2)利用向量的数量积公式,求得
,计算圆心到直线
的距离
,即可求解实数
的值;(3)方法1、设圆
到直线
的距离分别为
,求得
,根据垂径定理和勾股定理,可得
,在利用基本不等式,可求四边形
面积的最大值;方法2、利用弦长公式
,
,表示三角形的面积,在利用基本不等式,可求四边形
面积的最大值.
试题解析:(1)设圆心为,半径为
.故
,易得
,
因此圆的方程为.
(2)因为,且
与
的夹角为
,
故,
,所以
到直线
的距离
,又
,所以
.
又解:设P,
,则
,即
,
由得
,∴
,
代入得
,∴
;
(3)设圆心到直线
的距离分别为
,四边形
的面积为
.
因为直线都经过点
,且
,根据勾股定理,有
,
又,
故
当且仅当
时,等号成立,所以
.
(3)又解:由已知,由(2)的又解可得
,
同理可得,
∴
,
当且仅当时等号成立,所以
.
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