题目内容
【题目】函数,
(
是自然对数的底数,
).
(Ⅰ)求证: ;
(Ⅱ)已知表示不超过
的最大整数,如
,
,若对任意
,都存在
,使得
成立,求实数
的取值范围.
【答案】(Ⅰ)证明见解析;(Ⅱ) .
【解析】试题分析:
(Ⅰ)首先得出,求出导函数
,由
确定增区间,
确定减区间,从而确定出
的最小值为
,而
,由此不等式得证;
(Ⅱ)此问题首先进行转化,当时,
的最小值为
,当
时,
的最小值为
,依题意有
,而由(Ⅰ)知
=0,因此有
,下面就是求出
的最小值,即可得出
的范围,为此可求
的导数
.为了确定
的正负,令
,再求导
,
而当时,
,
,
在
上是增函数,所以
.下面对
按正负分类讨论:
A①,
在
上是增函数,最小值为
;②
,即
时,因为
在
上是增函数,且
,因此
在
上有一个零点,记为
,
,即
,这样有当
时,
,即
;当
时,
,即
,所以,
在
上是减函数,在
上是增函数,所以
,又
,所以
,所以
,所以
.由
,可令
,由此求出
的范围,即此时
的范围,综合以上两点可得.
试题解析:
(Ⅰ)(
).
当时,
,当
时,
,
即在
上单调递减,在
上单调递增,
所以,当时,
取得最小值,最小值为
,
所以,
又,且当
时等号成立,
所以, .
(Ⅱ)记当时,
的最小值为
,当
时,
的最小值为
,
依题意有,
由(Ⅰ)知,所以
,则有
,
.
令,
,
而当时,
,所以
,
所以在
上是增函数,所以
.
①当,即
时,
恒成立,即
,
所以在
上是增函数,所以
,
依题意有,解得
,
所以.
②当,即
时,因为
在
上是增函数,且
,
若,即
,则
,
所以,使得
,即
,
且当时,
,即
;当
时,
,即
,
所以, 在
上是减函数,在
上是增函数,
所以,
又,所以
,
所以,所以
.
由,可令
,
,当
时,
,所以
在
上是增函数,
所以当时,
,即
,
所以.
综上,所求实数的取值范围是
.
![](http://thumb2018.1010pic.com/images/loading.gif)
【题目】某职称晋级评定机构对参加某次专业技术考试的100人的成绩进行了统计,绘制了频率分布直方图(如图所示),规定80分及以上者晋级成功,否则晋级失败(满分为100分).
(1)求图中的值;
(2)估计该次考试的平均分(同一组中的数据用该组的区间中点值代表);
(3)根据已知条件完成下面列联表,并判断能否有85%的把握认为“晋级成功”与性别有关?
(参考公式: ,其中
)
0.40 | 0.25 | 0.15 | 0.10 | 0.05 | 0.025 | |
0.780 | 1.323 | 2.072 | 2.706 | 3.841 | 5.024 |