Question

【题目】已知函数（）有极小值.

（1）求实数的取值范围；

（2）若函数在时有唯一零点，求实数的取值范围.

Answer 1

【答案】（1）（2）或

【解析】【试题分析】（1）求得函数定义域后，对函数求导并令导数等于零，求出导函数的零点，对分成两类讨论函数的单调区间，确定当时符合题意.（2）令，将问题转化为方程在时有唯一实根. 由（1）知函数在处取得最小值，令，利用导数求得在处取得最大值为，结合唯一实数根这一条件可求得的取值范围.

【试题解析】

（1）函数定义域为， ，令，得，

当时，若，则；若，则，故在处取得极小值，

当时，若，则；若，则，故在处取得极大值.

所以实数的取值范围是.

（2）函数在时有唯一零点，即方程在时有唯一实根，

由（1）知函数在处取得最小值，

设， ，令，有，

列表如下

		1
	正	0	负
	增函数	极大值	减函数

故时， ，

又时， ； 时， ， ，

所以方程有唯一实根， 或，此时的取值范围为或.