题目内容
【题目】已知正项等比数列满足
,
,数列
满足
.
(1)求数列,
的通项公式;
(2)令,求数列
的前
项和
;
(3)若,且对所有的正整数
都有
成立,求
的取值范围.
【答案】(1),
;(2)
;(3)
.
【解析】
(1)设等比数列的公比为
,则
,根据条件
可求出
的值,利用等比数列的通项公式可求出
,再由对数的运算可求出数列
的通项公式;
(2)求出数列的通项公式,然后利用错位相减法求出数列
的前
项和为
;
(3)利用数列单调性的定义求出数列最大项的值为
,由题意得出关于
的不等式
对任意的
恒成立,然后利用参变量分离法得出
,并利用基本不等式求出
在
时的最小值,即可得出实数
的取值范围.
(1)设等比数列的公比为
,则
,由
可得
,
,
,即
,
,解得
,
.
;
(2)由(1)可得,
,
可得,
上式下式,得
,
因此,;
(3),
,
,
,即
,则有
.
所以,数列是单调递减数列,则数列
的最大项为
.
由题意可知,关于的不等式
对任意的
恒成立,
.
由基本不等式可得,当且仅当
时,等号成立,
则在
时的最小值为
,
,
因此,实数的取值范围是
.
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