题目内容
【题目】如图，已知在四棱锥
中，
底面
，
，
，
，
，点
为棱
的中点,
（1）试在棱
上确定一点
，使平面
平面
，说明理由；
（2）若
为棱上一点，满足
，求二面角
的余弦值.
【答案】（1）详见解析（2）
【解析】
⑴取
中点
，然后证明
面
，
面即可得证
⑵建立空间直角坐标系，求出平面
、平面
的法向量，运用夹角公式求出二面角的余弦值
（1）取中点，则中点即所求的点.理由如下：
分别为
的中点，
.
又
面，
面.
面.
易知四边形ABMP为平行四边形，所以
，
面，
面，
面.
又
，
平面
平面.
（2）由题意知
两两互相垂直，建立如图所示的空间直角坐标系，
则向量
，
，
，
.
由点
在棱
上，设
，.
故
.
由
，得
，因此
，解得
.
即
.
设
为平面的法向量，
则
即
.
不妨设
，可得平面的一个法向量为
.
取平面的法向量
，
则
.
易知，二面角
是锐角，
所以其余弦值为.
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