题目内容
【题目】如图,已知椭圆:
的离心率为
,过左焦点
且斜率为
的直线交椭圆
于
两点,线段
的中点为
,直线
:
交椭圆
于
两点.
(1)求椭圆的方程;
(2)求证:点在直线
上;
(3)是否存在实数,使得
?若存在,求出
的值,若不存在,说明理由.
【答案】(1)(2)详见解析(3)存在,且
【解析】
(1)根据离心率和焦点坐标列方程组,解方程组求得的值,进而求得椭圆
的方程.(2)写出直线
的方程,联立直线的方程和椭圆的方程,求得中点
的坐标,将坐标代入直线
的方程,满足方程,由此证得点
在直线
上.(3)由(2)知
到
的距离相等,根据两个三角形面积的关系,得到
是
的中点,设出
点的坐标,联立直线
的方程和椭圆的方程,求得
点的坐标,并由此求得
的值.
解:(1) 解:由,解得
,
所以所求椭圆的标准方程为
(2)设,
,
,
,消
得,
,
解得
将代入到
中,满足方程
所以点在直线
上.
(3)由(2)知到
的距离相等,
若的面积是
面积的3倍,得
,
有,
∴是
的中点,
设,则
,
联立,解得
,
于是
解得,所以
.
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