题目内容
【题目】已知椭圆
的左焦点为
，离心率
．
(I)求椭圆C的标准方程；
(II)已知直线
交椭圆C于A，B两点．
①若直线经过椭圆C的左焦点F，交y轴于点P，且满足
.求证：
为定值；
②若
，求
面积的取值范围.
【答案】（1）
；（2）见解析.
【解析】
（1）根据离心率及焦点坐标可得标准方程.
（2）①设直线
方程为
，则
，
，联立直线方程和椭圆方程并消去
得到关于
的方程，其解为
.又根据向量关系得到
，利用韦达定理可得此式为定值.
②设
，
，则
，利用换元法可求面积的取值范围，注意讨论
分别与坐标轴重合时的情形.
由题设知，
，所以
，
所以椭圆
的标准方程为
①由题设知直线斜率存在，设直线方程为，则.
设，直线代入椭圆得
，
所以
，
，由
，
知
，
.
②当直线分别与坐标轴重合时，易知
.
当直线斜率存在且不为0时，设，，
设，直线
代入椭圆得到
，
所以
，同理
，
，
令
，则
，
因为
，所以
，故 
，综上
.
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