题目内容
【题目】已知椭圆:
的一个焦点与抛物线
的焦点重合,点
在
上
(Ⅰ)求 的方程;
(Ⅱ)直线不过原点O且不平行于坐标轴,
与
有两个交点
,线段
的中点为
,证明:
的斜率与直线
的斜率的乘积为定值.
【答案】(Ⅰ)(Ⅱ)详见解析
【解析】
试题分析:(Ⅰ)求得抛物线的焦点,可得c=2,再由点满足椭圆方程,结合a,b,c的关系,解方程可得椭圆的方程;(Ⅱ)设直线l的方程为y=kx+b(k,b≠0),A,B
,代入椭圆方程,运用韦达定理和中点坐标公式可得M的坐标,可得直线OM的斜率,进而得到证明
试题解析:(Ⅰ)抛物线的焦点为(2,0),由题意可得c=2,即
,
又点在
上,可得
解得
即有椭圆C:…………………………5分
(Ⅱ)证明:设直线的方程为
(
≠0),
,
,…………6分
将直线代入椭圆方程
,可得
,
…………………………8分
即有AB的中点M的横坐标为,纵坐标为
…………10分
直线OM的斜率为即有
故OM的斜率与直线l的斜率的乘积为定值.…………………………12分
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