题目内容
【题目】已知中心在坐标原点的椭圆
经过点
,且点
为其右焦点.
(Ⅰ)求椭圆的标准方程;
(Ⅱ)是否存在平行于的直线
,使得直线
与椭圆
有公共点,且直线
与
的距离等于4?若存在,求出直线
的方程;若不存在,请说明理由.
【答案】(Ⅰ);(Ⅱ)不存在.
【解析】试题分析:(Ⅰ)设出椭圆的标准方程,利用椭圆的定义和焦点坐标求出有关参数值,进而得到椭圆的标准方程;(Ⅱ)先假设存在符合题意的直线,并设出直线方程,联立直线与椭圆的方程,得到关于
的一元二次方程,利用判别式为正和点到直线的距离公式进行求解.
试题解析:(Ⅰ)依题意,可设椭圆的方程为
,且可知左焦点为
,
从而有,解得
,又
,∴
.
故椭圆的标准方程为
.
(Ⅱ)假设存在符合题意的直线,其方程为
.
由得
.
∵直线与椭圆
有公共点,∴
,解得
.
另一方面,直线与
的距离等于4,可得
,从而
.
由于,∴符合题意的直线
不存在.
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