Question

18．如图，O为圆心，若圆O的弦AB=3，弦AC=5，则$\overrightarrow{AO}$•$\overrightarrow{BC}$的值是（　　）

• A． 1
• B． 8
• C． -1
• D． -8

Answer 1

分析 如图所示，过点O作OD⊥BC交BC于点D，连接AD．则D为BC的中点，$\overrightarrow{OD}•\overrightarrow{BC}$=0.$\overrightarrow{AD}=\frac{1}{2}（\overrightarrow{AC}+\overrightarrow{AB}）$．又$\overrightarrow{AO}=\overrightarrow{AD}+\overrightarrow{DO}$，$\overrightarrow{BC}=\overrightarrow{AC}-\overrightarrow{AB}$，即可得出．

解答 解：如图所示，过点O作OD⊥BC交BC于点D，连接AD．
则D为BC的中点，$\overrightarrow{OD}•\overrightarrow{BC}$=0．
$\overrightarrow{AD}=\frac{1}{2}（\overrightarrow{AC}+\overrightarrow{AB}）$．又$\overrightarrow{AO}=\overrightarrow{AD}+\overrightarrow{DO}$，$\overrightarrow{BC}=\overrightarrow{AC}-\overrightarrow{AB}$，
∴$\overrightarrow{AO}$•$\overrightarrow{BC}$=（$\overrightarrow{AD}+\overrightarrow{DO}$）$•\overrightarrow{BC}$=$\overrightarrow{AD}•\overrightarrow{BC}$=$\frac{1}{2}（\overrightarrow{AC}+\overrightarrow{AB}）（\overrightarrow{AC}-\overrightarrow{AB}）$=$\frac{1}{2}（{\overrightarrow{AC}}^{2}-{\overrightarrow{AB}}^{2}）$=$\frac{1}{2}（{5}^{2}-{3}^{2}）$=8；
故选：B．

点评 本题考查了三角形外心性质、向量是三角形法则、平行四边形法则、数量积运算，考查了推理能力与计算能力，属于难题