题目内容

3.已知$\overrightarrow{i}$,$\overrightarrow{j}$分别是与x轴,y轴方向相同的两个单位向量,$\overrightarrow{O{A}_{1}}$=$\overrightarrow{j}$,$\overrightarrow{O{A}_{2}}$=5$\overrightarrow{j}$,$\overrightarrow{{A}_{n-1}{A}_{n}}$=2$\overrightarrow{{A}_{n}{A}_{n+1}}$(n≥2,n∈N+),$\overrightarrow{OB}$=3$\overrightarrow{i}$+3$\overrightarrow{j}$,$\overrightarrow{{B}_{n}{B}_{n+1}}$=2$\overrightarrow{i}$+2$\overrightarrow{j}$(n∈N+).
(Ⅰ)求|$\overrightarrow{{A}_{7}{A}_{8}}$|;
(Ⅱ)求$\overrightarrow{O{A}_{n}}$,$\overrightarrow{O{B}_{n}}$的坐标.

分析 (1)根据平面向量的加减运算法则,求出向量$\overrightarrow{{A}_{7}{A}_{8}}$,再求模长即可;
(2)根据平面向量的加法运算法则,求出$\overrightarrow{O{A_n}}$、$\overrightarrow{O{B_n}}$的坐标表示.

解答 解:(1)∵$\overrightarrow{{{A}_{n-1}A}_{n}}$=2$\overrightarrow{{{A}_{n}A}_{n+1}}$,
∴$\overrightarrow{{A}_{1}{A}_{2}}$=2$\overrightarrow{{A}_{2}{A}_{3}}$=22$\overrightarrow{{A}_{3}{A}_{4}}$=23$\overrightarrow{{{A}_{4}A}_{5}}$=…=26$\overrightarrow{{{A}_{7}A}_{8}}$;
又∵$\overrightarrow{{A}_{1}{A}_{2}}$=5$\overrightarrow{j}$-$\overrightarrow{j}$=4$\overrightarrow{j}$,
∴$\overrightarrow{{A}_{7}{A}_{8}}$=$\frac{1}{16}$$\overrightarrow{j}$,
∴|$\overrightarrow{{A}_{7}{A}_{8}}$|=$\frac{1}{16}$;…(4分)
(2)n=1时,$\overrightarrow{O{A_n}}$=$\overrightarrow{{OA}_{1}}$=$\overrightarrow{j}$,
n≥2时,$\overrightarrow{O{A_n}}$=$\overrightarrow{O{A_1}}+$$\overrightarrow{{A_1}{A_2}}+\overrightarrow{{A_2}{A_3}}+…$$\overrightarrow{{A_{n-1}}{A_n}}$
=$\overrightarrow{j}$+[4$\overrightarrow{j}$+2$\overrightarrow{j}$+…+4•${(\frac{1}{2})}^{n-2}$•$\overrightarrow{j}$]
=$\overrightarrow{j}$+$\frac{4[1{-(\frac{1}{2})}^{n-1}]}{1-\frac{1}{2}}$$\overrightarrow{j}$
=(9-24-n)$\overrightarrow{j}$,
从而,$\overrightarrow{O{A_n}}$=(0,9-24-n);…(8分)
$\overrightarrow{O{B_n}}$=$\overrightarrow{O{B_1}}+$$\overrightarrow{{B_1}{B_2}}+\overrightarrow{{B_2}{B_3}}+…$$\overrightarrow{{B_{n-1}}{B_n}}$
=$(3\overrightarrow i+3\overrightarrow j)+(n-1)(2\overrightarrow i+2\overrightarrow j)$
=$(2n+1)\overrightarrow i+(2n+1)\overrightarrow j$;
从而,$\overrightarrow{O{B_n}}$=(2n+1,2n+1).…(12分)

点评 本题考查了平面向量加减运算以及向量的坐标运算问题,也考查了向量的求模问题,是基础题目.

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