题目内容

如图，已知三棱锥A-BCD的侧视图，俯视图都是直角三角形，尺寸如图所示．
（1）求异面直线AB与CD所成角的余弦值；
（2）在线段AC上是否存在点F，使得BF⊥面ACD？若存在，求出CF的长度；若不存在说明理由．
（1）取BD的中点O，连AO，则AO⊥面CBD．
以O为原点建立空间直角坐标系，如图．
A（0，0，1），B（1，0，0），C（1，2
3
，0），D（-1，0，0）．
AB
=(1，0，-1)，
CD
=(-2，-2
3
，0)，cos＜
AB
，
CD
＞=-
2
4
．
所以所求异面直线AB与CD所成角的余弦值为
2
4
；（5分）
（2）设
CF
=λ
CA
，
则
BF
=
BC
+
CF
=(-λ，2
3
(1-λ)，λ)
由BF⊥面ACD得：
BF
•
CA
=2λ-12(1-λ)=0
BF
•
AD
=λ-λ=0

解得λ=
6
7
，
|
CF
|=
6
7
|
CA
|=
6
7
14
，（5分）
练习册系列答案
相关题目
 已知：如图12，P是正方形ABCD所在平面外一点，PA=PB=PC=PD=a，AB=a．
求：平面APB与平面CPD相交所成较大的二面角的余弦值．
如图，三棱锥P-ABC中，PA⊥平面ABC，△ABC是等边三角形，E是BC中点，若PA=AB，则异面直线PE与AB所成角的余弦值（　　）
A．
3
7
14
B．
21
6
C．
5
10
D．
2
3
三棱柱ABC-A1B1C1中，底面边长和侧棱长都相等，∠BAA1=∠CAA1=60°，则异面直线AB1与BC1所成角的余弦值为（　　）
A．
3
3
B．
6
6
C．
3
4
D．
3
6
已知正三棱柱ABC-A1B1C1的底面边长为8，侧棱长为6，D为AC中点．
（1）求证：AB1∥平面C1DB；
（2）求异面直线AB1与BC1所成角的余弦值．
如图，在正方体ABCD-A1B1C1D1中，E是AA1的中点，
（Ⅰ）求直线BC与A1C所成的角的度数．
（Ⅱ）求证：A1C∥平面BDE．
如图，四面体ABCD中，O、E分别是BD、BC的中点，AO⊥平面BCD，CA=CB=CD=BD=2．
（1）求证：面ABD⊥面AOC；
（2）求异面直线AE与CD所成角的大小．
如图正方体ABCD-A1B1C1D1中，E，F分别为AB，CC1的中点，则异面直线A1C与EF所成角的余弦值为（　　）
A．
3
3
B．
2
3
C．
1
3
D．
1
6
在△ABC中，AB=15，∠BCA=120°．若△ABC所在平面α外一点P到A、B、C的距离都是14，则直线PC与平面ABC所成角的正弦值为（　　）
A．
13
14
B．
11
14
C．
9
14
D．
1
2

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