Question

【题目】已知动圆与圆相切，且与圆相内切，记圆心的轨迹为曲线.

（Ⅰ）求曲线C的方程；

（Ⅱ）设Q为曲线C上的一个不在轴上的动点，O为坐标原点，过点作OQ的平行线交曲线C于M,N两个不同的点, 求△QMN面积的最大值．

Answer 1

【答案】(1) ;(2) .

【解析】试题分析：（1）由已知条件推导出|PF1|+|PF2|=8＞|F1F2|=6，从而得到圆心P的轨迹为以F1，F2为焦点的椭圆，由此能求出圆心P的轨迹C的方程;（2）由MN∥OQ，知△QMN的面积=△OMN的面积，联立直线和椭圆得到二次方程，根据韦达定理和弦长公式得到△的面积，由此能求出△QMN的面积的最大值．

解析：（Ⅰ）设圆的半径为, 圆心的坐标为，

由于动圆与圆相切，且与圆相内切，

所以动圆与圆只能内切.

所以

则.

所以圆心的轨迹是以点为焦点的椭圆,

且, 则.

所以曲线的方程为.

（Ⅱ）设，直线的方程为，

由 可得，

则.

所以

因为，所以△的面积等于△的面积.

点到直线的距离.

所以△的面积.

令，则 ，.

设，则.

因为, 所以

所以在上单调递增.

所以当时, 取得最小值, 其值为.

所以△的面积的最大值为.

说明: △的面积.