题目内容

18.在△ABC中,角A、B、C所对的边分别为a、b、c.已知c=2,sinB=$\sqrt{2}$sinA
(1)若B=$\frac{2π}{3}$,求边长a;
(2)求△ABC面积S的最大值.

分析 (1)根据正弦定理得到b=$\sqrt{2}$a,由余弦定理,得到关于a的方程,解得即可;
(2)先余弦定理得到cosB=$\frac{{a}^{2}+{c}^{2}-{b}^{2}}{2ac}$,再求出sinB,根据面积公式,求出S=$\frac{1}{2}$acsinB,两边平方,得到S2=-$\frac{1}{16}$(a2-12)2+8,继而求出面积的最大值.

解答 解:(1)∵B=$\frac{2π}{3}$,sinB=$\sqrt{2}$sinA,
∴b=$\sqrt{2}$a,
由余弦定理,得到b2=a2+c2-2accosB,
∴a2-4-2a=0,
解得a=1+$\sqrt{5}$,a=1-$\sqrt{5}$(舍去);
(2)由由余弦定理,得到b2=a2+c2-2accosB,
即cosB=$\frac{{a}^{2}+{c}^{2}-{b}^{2}}{2ac}$=$\frac{{a}^{2}+4-2{a}^{2}}{4a}$=$\frac{1}{a}$-$\frac{a}{4}$,
∴sinB=$\sqrt{1-co{s}^{2}B}$=$\sqrt{1-(\frac{1}{a}-\frac{a}{4})^{2}}$,
∴S=$\frac{1}{2}$acsinB=a$\sqrt{1-(\frac{1}{a}-\frac{a}{4})^{2}}$,
∴S2=-$\frac{1}{16}$(a4-24a2+16)=-$\frac{1}{16}$(a2-12)2+8,
当a2=12时,即a=2$\sqrt{3}$时,S2有最大值,
∴S2max=8,
∴Smax=2$\sqrt{2}$.

点评 本题考查了正弦定理,余弦定理,三角形的面积公式,以及二次函数的最值问题,属于中档题.

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