题目内容
【题目】已知双曲线:
的左、右焦点分别是
、
,左、右两顶点分别是
、
,弦AB和CD所在直线分别平行于x轴与y轴,线段BA的延长线与线段CD相交于点
如图).
⑴若是
的一条渐近线的一个方向向量,试求
的两渐近线的夹角
;
⑵若,
,
,
,试求双曲线
的方程;
⑶在⑴的条件下,且,点C与双曲线的顶点不重合,直线
和直线
与直线l:
分别相交于点M和N,试问:以线段MN为直径的圆是否恒经过定点?若是,请求出定点的坐标;若不是,试说明理由.
【答案】⑴ ⑵
⑶圆过x轴上两个定点
和
【解析】
⑴ 可得,从而
,
,即
⑵ 求得即,从而得
,
代入双曲线方程知:
即可;
⑶ 可得的方程为:
,求得
,
,
令,所以
,
以MN为直径的圆的方程为:,
于是,
即可得圆过x轴上两个定点.
解:⑴ 双曲线的渐近线方程为:
即,所以
,
从而,
,
所以
⑵ 设,则由条件知:
,
,即
所以,
,
代入双曲线方程知:
双曲线的方程:
⑶ 因为,所以
,由⑴知,
,所以
的方程为:
,
令,所以
,
,令
,所以
,
,令
,所以
,
故以MN为直径的圆的方程为:,
即,
即,
若以MN为直径的圆恒经过定点
于是
所以圆过x轴上两个定点和
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