题目内容
【题目】已知函数.
(1)若曲线在
处的切线的方程为
,求实数
的值;
(2)设,若对任意两个不等的正数
,都有
恒成立,求实数
的取值范围;
(3)若在上存在一点
,使得
成立,求实数
的取值范围.
【答案】(1) (2)
(3)
【解析】
(1)根据导数的几何意义可知,在
的导数是曲线在
处切线的斜率,列方程求
;(2)不等式变形为
设
,可得
递增,所以
在
恒成立,
变形为恒成立,转化为求函数的最值;(3)不等式
等价于
,设
,求
,然后讨论极值点和定义域的关系,分
,
和
三种情况求函数在
上的最小值,令最小值小于0,分别解关于
的不等式,得到
的取值范围.
(1)的导数为
,曲线
在
处的切线斜率为
,
由切线的方程为,可得
,
解得;
(2),
对任意两个不等的正数,都有
恒成立,即为
令,可得
递增,
由恒成立,
可得的最大值,由
可得最大值
,
则,即
的取值范围是
;
(3)不等式等价于,
整理得,设
,
则由题意可知只需在上存在一点
,使得
.
对求导数,得
因为,所以
,令
,得
.
①若,即
时,令
,解得
.
②若,即
时,
在
处取得最小值,
令,即
,
可得
对于式子,因为
,可得左端大于
,而右端小于
,所以不等式不能成立
③当,即
时,
在
上单调递减,只需
,得
,
又因为,则
.
综上所述,实数的取值范围是
.
![](http://thumb2018.1010pic.com/images/loading.gif)
【题目】目前,青蒿素作为一线抗疟药品得到大力推广某农科所为了深入研究海拔因素对青蒿素产量的影响,在山上和山下的试验田中分别种植了株青蒿进行对比试验.现在从山上和山下的试验田中各随机选取了
株青蒿作为样本,每株提取的青蒿素产量(单位:克)如下表所示:
编号位置 | ① | ② | ③ | ④ |
山上 | ||||
山下 |
(1)根据样本数据,试估计山下试验田青蒿素的总产量;
(2)记山上与山下两块试验田单株青蒿素产量的方差分别为,
,根据样本数据,试估计
与
的大小关系(只需写出结论);
(3)从样本中的山上与山下青蒿中各随机选取株,记这
株的产量总和为
,求
的概率.