题目内容

(本小题满分13分)
设函数为常数,是自然对数的底数).
(Ⅰ)当时,求函数的单调区间;
(Ⅱ)若函数内存在两个极值点,求的取值范围.
(I)的单调递减区间为,单调递增区间为.
(II)函数在内存在两个极值点时,k的取值范围为.

试题分析:(I)函数的定义域为

可得
得到的单调递减区间为,单调递增区间为.
(II)分时,
讨论导函数值的正负,根据函数的单调性,明确极值点的有无、多少.
试题解析:(I)函数的定义域为



可得
所以当时,,函数单调递减,
时,,函数单调递增.
所以的单调递减区间为,单调递增区间为.
(II)由(I)知,时,函数内单调递减,
内不存在极值点;
时,设函数
因为
时,
时,单调递增,
内不存在两个极值点;
时,
时,,函数单调递减,
时,,函数单调递增,
所以函数的最小值为
函数内存在两个极值点;
当且仅当
解得
综上所述,函数在内存在两个极值点时,k的取值范围为.
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