题目内容

【题目】已知数列{an},{bn}满足a1=2,b1=4,且 2bn=an+an+1 , an+12=bnbn+1
(Ⅰ)求 a 2 , a3 , a4及b2 , b3 , b4
(Ⅱ)猜想{an},{bn}的通项公式,并证明你的结论;
(Ⅲ)证明:对所有的 n∈N* sin

【答案】解:(I)令n=1得 ,解得

令n=2得 ,解得

令n=3得 ,解得

(II)猜想:an=n(n+1),bn=(n+1)2

证明:当n=1时,猜想显然成立,

假设n=k(k≥1)猜想成立,即ak=k(k+1),bk=(k+1)2

∵2bk=ak+ak+1,∴ak+1=2bk﹣ak=2(k+1)2﹣k(k+1)=(k+1)(k+2),

∵ak+12=bkbk+1,∴bk+1= =(k+2)2

∴当n=k+1时,猜想成立,

∴an=n(n+1),bn=(n+1)2,n∈N+

(III)证明:由(II)可知 =

于是原不等式等价于 sin

(i)先证

∵4n2﹣1<4n2,∴(2n+1)(2n﹣1)<4n2

∴(2n﹣1)2(2n+1)<4n2(2n﹣1),

即( 2 ,即

=

(ii)再证 sin

=x,则0<x≤

设f(x)=x﹣ sinx,则f′(x)=1﹣ cosx<0,

∴f(x)在(0, )上单调递减,

∴f(x)<f(0)=0,即x sinx,

sin

综上,对所有的 n∈N* sin


【解析】(I)依次把n=1,2,3代入递推式即可求出{an},{bn}的前4项;(II)利用数学归纳法证明猜想;(III)利用放缩法证明不等式左边,利用函数单调性证明不等式右边.
【考点精析】解答此题的关键在于理解归纳推理的相关知识,掌握根据一类事物的部分对象具有某种性质,退出这类事物的所有对象都具有这种性质的推理,叫做归纳推理.

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