题目内容
【题目】设不经过坐标原点
的直线
与圆
交于不同的两点
.若直线
的斜率与直线
和
斜率满足
，求
面积
的取值范围.
【答案】
.
【解析】试题分析：设直线
的方程为
代入方程消去
得
，由此利用根的判别式可得
、根据条件
所以
，所以
从而结合韦达定理可得
，解得
，从而可得
,利用点到直线距离公式，弦长公式及三角形面积公式可得
，利用基本不等式可得
面积
的取值范围.
试题解析：设
，代入
得
，由
得
设
，则
从而
根据条件
所以
，所以
从而
又圆心
到直线
的距离
，所以 
于是
,
又
，所以
，因此上式等号不成立
故
面积
的取值范围是
.
【方法点晴】本题主要考查直线与圆的位置关系及解析几何求最值，属于难题. 解析几何中的最值问题一般有两种方法：一是几何意义，特别是用圆锥曲线的定义和平面几何的有关结论来解决，非常巧妙；二是将解析几何中最值问题转化为函数问题，然后根据函数的特征选用参数法、配方法、判别式法、三角函数有界法、函数单调性法以及均值不等式法，本题（2）就是用的这种思路，利用均值不等式法求三角形面积最值的.
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