题目内容
【题目】如图，空间几何体
，△
、△
、△
均是边长为2的等边三角形，平面
平面，且平面
平面，
为
中点．
（1）证明：
平面
；
（2）求二面角
的余弦值.
【答案】（1）详见解析（2）
【解析】
（1）分别取
，
中点
，
，连接
，
，
，
，
，通过面面平行的判定定理，证得面
面
，从而证得
平面
.（2）方法一（向量法）：以点为原点，以
为
轴，以
为
轴，以
为
轴，建立空间直角坐标系，利用平面
和平面
的法向量，计算二面角的余弦值.方法二（几何法）：过点作垂线，垂足为
，连接
.由此作出二面角的平面角
并证明，解直角三角形求得二面角的余弦值.
（1）分别取，中点，，连接，，，，
由面
面
且交于，
平面
，
有
面
由面
面且交于，
平面，
有
面
所以
,
，所以
，
由
有
，
，所以
，
,所以面面，所以
（2）
法1：以点为原点，以为轴，以为轴，以为轴，建立如图所示空间直角坐标系
由面，所以面的法向量可取
点
,点
,点
，
,
，
设面的法向量
，所以
，取
设二面角
的平面角为
，据判断其为锐角.
法2：过点作垂线，垂足为，连接.
由（1）问可知
又因为
，所以
平面
，则有
.
所以为二面角的平面角.
由题可知
，所以
,则
所以，
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