Question

9．棱长为1的正方体ABCD-A₁B₁C₁D₁中，E、F分别为棱BC、DD₁的中点．
（1）若平面AFB₁与平面BCC₁B₁的交线为l，l与底面AC的交点为点G，试求AG的长；
（2）求点A到平面B₁EF的距离．

Answer 1

分析 （1）过B₁作FA的平行线交面ABCD于G，连接AG，在Rt△ABG中求得AG的长；
（2）分别以DA、DC、DD₁所在直线为x、y、z轴建立空间直角坐标系，求出平面B₁EF的一个法向量，利用向量法求得点A到平面B₁EF的距离．

解答 解：（1）如图，

延长CB到G，使BG=2BC，连接B₁G，则B₁G所在直线为平面AFB₁与平面BCC₁B₁的交线，
连接AG，在Rt△ABG中，AB=1，BG=2，则AG²=AB²+BG²=5，
∴AG=$\sqrt{5}$；
（2）建立如图所示空间直角坐标系，
则A（1，0，0），${B}_{1}（1，1，1），E（\frac{1}{2}，1，0），F（0，0，\frac{1}{2}）$，
$\overrightarrow{{B}_{1}E}=（-\frac{1}{2}，0，-1），\overrightarrow{{B}_{1}F}=（-1，-1，-\frac{1}{2}）$，
设平面B₁EF的一个法向量为$\overrightarrow{n}=（x，y，z）$，
由$\left\{\begin{array}{l}{\overrightarrow{{B}_{1}E}•\overrightarrow{n}=0}\\{\overrightarrow{{B}_{1}F}•\overrightarrow{n}=0}\end{array}\right.$，得$\left\{\begin{array}{l}{-\frac{1}{2}x-z=0}\\{-x-y-\frac{1}{2}z=0}\end{array}\right.$，取x=2，得y=-$\frac{3}{2}$，z=-1，
∴$\overrightarrow{n}=（2，-\frac{3}{2}，-1）$．
又$\overrightarrow{A{B}_{1}}$=（0，1，1），
∴点A到平面B₁EF的距离d=$\frac{|\overrightarrow{A{B}_{1}}•\overrightarrow{n}|}{|\overrightarrow{n}|}$=$\frac{|-\frac{3}{2}-1|}{\sqrt{{2}^{2}+（-\frac{3}{2}）^{2}+（-1）^{2}}}$=$\frac{5\sqrt{29}}{29}$．

点评 本题考查空间中的点、线、面间的距离，考查学生的空间想象能力和思维能力，训练了利用向量法求点到面的距离，是中档题．