Question

4．关于x的不等式log_a（2-$\frac{1}{2}$x²）＞log_a（a-x）的解集为A，若A∩Z={1}，求实数a的范围．

Answer 1

分析 当 0＜a＜1时，由题意利用对数函数的单调性和特殊点可得$\left\{\begin{array}{l}{2-\frac{1}{2}{•x}^{2}＞0}\\{a-x＞0}\\{2-\frac{1}{2}{•x}^{2}＜a-x}\end{array}\right.$，求得原不等式的解集为A={x|-2＜x＜1-$\sqrt{5-2a}$}．此时，A∩Z={1}不可能．
当a＞1时，由由题意利用对数函数的单调性和特殊点可得$\left\{\begin{array}{l}{2-\frac{1}{2}{•x}^{2}＞0}\\{a-x＞0}\\{2-\frac{1}{2}{•x}^{2}＞a-x}\end{array}\right.$，求得原不等式的解集A，再根据A∩Z={1}，分类讨论求得a的范围．综合可得结论．

解答 解：（1）当 0＜a＜1时，由不等式log_a（2-$\frac{1}{2}$x²）＞log_a（a-x），可得$\left\{\begin{array}{l}{2-\frac{1}{2}{•x}^{2}＞0}\\{a-x＞0}\\{2-\frac{1}{2}{•x}^{2}＜a-x}\end{array}\right.$．
求得$\left\{\begin{array}{l}{-2＜x＜2}\\{x＜a}\\{{x}^{2}-2x+2a-4＞0…①}\end{array}\right.$．
由于①的判别式△=4-4（2a-4）=20-4a＞0，故①的解集为{x|x＜1-$\sqrt{5-2a}$，或x＞1+$\sqrt{5-2a}$}．
故原不等式的解集为A={x|-2＜x＜1-$\sqrt{5-2a}$}．
此时，A∩Z={1}不可能．
（2）当a＞1时，由不等式log_a（2-$\frac{1}{2}$x²）＞log_a（a-x），可得$\left\{\begin{array}{l}{2-\frac{1}{2}{•x}^{2}＞0}\\{a-x＞0}\\{2-\frac{1}{2}{•x}^{2}＞a-x}\end{array}\right.$．
求得$\left\{\begin{array}{l}{-2＜x＜2}\\{x＜a}\\{{x}^{2}-2x+2a-4＜0…②}\end{array}\right.$．
由题意可得，②的判别式△=4-4（2a-4）=4（5-2a）＞0，故②的解集为{x|1-$\sqrt{5-2a}$＜x＜1+$\sqrt{5-2a}$}，且1＜a＜$\frac{5}{2}$．
若a=2，②的解集为{x|0＜x＜2}，原不等式的解集为A={x|0＜x＜2}，满足A∩Z={1}．
若1＜a＜2，②的解集为{x|1-$\sqrt{5-2a}$＜x＜1+$\sqrt{5-2a}$}，原不等式的解集为A={x|1-$\sqrt{5-2a}$＜x＜2}，满足A∩Z={1}．
若2＜a＜$\frac{5}{2}$，②的解集为{x|1-$\sqrt{5-2a}$＜x＜1+$\sqrt{5-2a}$}，原不等式的解集为A={x|1-$\sqrt{5-2a}$＜x＜2}，满足A∩Z={1}．
综上可得，1＜a＜$\frac{5}{2}$．

点评 本题主要考查对数函数的单调性和特殊点，二次函数的性质，体现了转化、分类讨论的数学思想，属于中档题．