题目内容
【题目】如图,在四棱锥P﹣ABCD中,ABCD是正方形,PD⊥平面ABCD,PD=AB=2,E,F,G分别是PC,PD,BC的中点.
(1)求证:平面PAB∥平面EFG;
(2)证明:平面EFG⊥平面PAD;
(3)在线段PB上确定一点Q,使PC⊥平面ADQ,并给出证明.
【答案】
(1)证明:E,F分别是线段PC,PD的中点,所以EF∥CD,
又ABCD为正方形,AB∥CD,
所以EF∥AB,
又EF平面PAB,所以EF∥平面PAB.
因为E,G分别是线段PC,BC的中点,所以EG∥PB,
又EG平面PAB,所以,EG∥平面PAB.
所以平面EFG∥平面PAB
(2)证明:因为CD⊥AD,CD⊥PD,AD∩PD=D,所以CD⊥平面PAD,
又EF∥CD,所以EF⊥平面PAD,所以平面EFG⊥平面PAD
(3)证明:Q为线段PB中点时,PC⊥平面ADQ.
取PB中点Q,连接DE,EQ,AQ,
由于EQ∥BC∥AD,所以ADEQ为平面四边形,
由PD⊥平面ABCD,得AD⊥PD,
又AD⊥CD,PD∩CD=D,所以AD⊥平面PDC,
所以AD⊥PC,
又三角形PDC为等腰直角三角形,E为斜边中点,所以DE⊥PC,
AD∩DE=D,所以PC⊥平面ADQ.
【解析】(1)运用面面平行的判定定理,先证线面平行,即可得到证明;(2)由线面垂直的性质和面面垂直的判定定理,即可得证;(3)Q为线段PB中点时,PC⊥平面ADQ.运用线面垂直的判定定理即可得到结论.

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