题目内容
【题目】如图1,2,在Rt△ABC中,AB=BC=4,点E在线段AB上,过点E作交AC于点F,将△AEF沿EF折起到△PEF的位置(点A与P重合),使得∠PEB=60°.
(1)求证:EF⊥PB;
(2)试问:当点E在何处时,四棱锥P﹣EFCB的侧面的面积最大?并求此时四棱锥P﹣EFCB的体积及直线PC与平面EFCB所成角的正切值.
【答案】
(1)证明:∵EF∥BC且BC⊥AB,
∴EF⊥AB,即EF⊥BE,EF⊥PE.又BE∩PE=E,
∴EF⊥平面PBE,又PB平面PBE,
∴EF⊥PB
(2)解:设BE=x,PE=y,则x+y=4.
∴ .
当且仅当x=y=2时,S△PEB的面积最大,此时,BE=PE=2.
由(1)知EF⊥平面PBE,
∵EF平面EFCB,∴平面EFCB⊥平面PBE.
在平面PBE中,作PO⊥BE于O,则PO⊥平面EFCB.
即PO为四棱锥P﹣EFCB的高.
又 .
∴
∵ ,
∴BO=1,在Rt△OBC中, .
∵PO⊥平面EFCB,∴∠PCO就是PC与平面EFCB所成角.
∴ ,
故直线PC与平面EFCB所成角的正切值为
【解析】(1)推导出EF⊥AB,EF⊥BE,EF⊥PE,由此能证明EF⊥PB. (2)设BE=x,PE=y,则x+y=4,当且仅当x=y=2时,S△PEB的面积最大,此时,BE=PE=2.EF⊥平面PBE,从而平面EFCB⊥平面PBE.作PO⊥BE于O,则PO为四棱锥P﹣EFCB的高,∠PCO就是PC与平面EFCB所成角.由此能求出结果.
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