Question

6．已知函数f（x）=cos$\frac{π}{6}x-\sqrt{3}sin\frac{π}{6}$x（0≤x≤5）的图象过点B（4，m），
（Ⅰ）若角α的顶点为坐标原点，始边与x轴的非负半轴重合，其终边过点B，求sin2α的值；
（Ⅱ）求函数y=f（x）的最值．

Answer 1

分析 （Ⅰ）把B点坐标代入函数解析式求得m，进而求得sinα和cosα利用二倍角公式求得sin2α的值．
（Ⅱ）利用x的范围确定$\frac{π}{6}$x+$\frac{π}{3}$的范围，利用三角函数图象与性质确定函数的最大和最小值．

解答 解：（Ⅰ）∵函数$f（x）=cos\frac{π}{6}x-\sqrt{3}sin\frac{π}{6}x（0≤x≤5）$的图象过点B（4，m），
∴$m=cos\frac{2π}{3}-\sqrt{3}sin\frac{2π}{3}$=-2，
即点B（4，-2），$|{OB}|=\sqrt{{4^2}+{{（-2）}^2}}=2\sqrt{5}$，
∴$sinα=\frac{-2}{{2\sqrt{5}}}=-\frac{{\sqrt{5}}}{5}，cosα=\frac{4}{{2\sqrt{5}}}=\frac{{2\sqrt{5}}}{5}$，
∴$sin2α=2sinαcosα=2•（{-\frac{{\sqrt{5}}}{5}}）•\frac{{2\sqrt{5}}}{5}=-\frac{4}{5}$．
（Ⅱ）$f（x）=2cos（\frac{π}{6}x+\frac{π}{3}）$，
∵0≤x≤5，
∴$\frac{π}{3}≤\frac{π}{6}x+\frac{π}{3}≤\frac{7π}{6}$，
当$\frac{π}{6}x+\frac{π}{3}=\frac{π}{3}$时，即x=0时，f（x）_max=1，
当$\frac{π}{6}x+\frac{π}{3}=π$时，即x=4时，f（x）_min=-2．

点评 本题主要考查了三角函数图象与性质．注意对一些三角函数的定义和公式熟练记忆．