Question

14．如图，M是正方体ABCD-A₁B₁C₁D₁的棱DD₁的中点，给出下列命题：
①过M点有且只有一条直线与直线AB，B₁C₁都相交；
②过M点有且只有一条直线与直线AB，B₁C₁都垂直；
③过M点有且只有一个平面与直线AB，B₁C₁都相交；
④在平面BB₁C₁C上存在无穷条直线与平面A₁BM平行；
⑤过M点有且只有一个平面与直线AB，B₁C₁都平行．
其中真命题的序号是①②④⑤．

Answer 1

分析 ①由过AB与M的平面与B₁C₁相交，连接交点与M点的直线与AB相交判断①正确；
②利用过空间一点有且只有一条直线与已知平面平行判断②正确；
③可举反例，即找到两个或两个以上过点m且与直线AB、B₁C₁都相交的平面，即可判断③错误；
④由公理3可知平面BB₁C₁C与平面A₁BM有交线，再由线面平行的判断可得④正确；
⑤利用线面平行的性质来判断⑤正确．

解答 解：过M点与直线AB有且只有一个平面，该平面与直线B₁C₁相交，设交点为P，
连接MP，则MP 与直线AB相交，∴过M点有且只有一条直线与直线AB、B₁C₁都相交．①正确；
∵直线BC∥直线B₁C₁，直线BC与直线AB确定平面ABCD，过点M有且只有直线D₁D⊥平面ABCD，
即过点M有且只有直线D₁D与直线AB，B₁C₁都垂直．②正确；
过M点与直线AB有且只有一个平面，该平面与直线B₁C₁相交，
过M点与直线B₁C₁有且只有一个平面，该平面与直线AB相交，
∴过点M不止一个平面与直线AB、B₁C₁都相交．③错误；
∵平面BB₁C₁C与平面A₁BM有公共点B，则两平面有交线，在平面BB₁C₁C内，与交线平行的直线都与平面A₁BM平行．④正确；
过M分别作AB，B₁C₁的平行线，都有且只有一条，这两条平行线成为相交直线，确定一个平面，
该平面与AB，B₁C₁平行，且只有该平面与两直线平行．⑤正确．
故答案为①②④⑤．

点评 本题考查命题的真假判断与应用，考查空间中直线与平面、平面与平面的位置关系，考查空间想象能力和思维能力，是中档题．