Question

【题目】已知函数图象在点（e为自然对数的底数）处的切线斜率为3．

（1）求实数的值；

（2）若，且对任意恒成立，求的最大值．

Answer 1

【答案】（1）a=1；（2）3．

【解析】试题分析：（1）先求出的导数f′（x）=a+lnx+1，根据已知条件f′（e）=3，再求出a+lne+1=3，可得a=1。

（2）根据已知条件建立一个不等式，再根据k＜对任意x＞1恒成立这个条件构造函数g（x）=，本题的目的就转化为求解g（x）的最小值，首先对g（x）求导，g′（x）=，无法直接判断g′（x）的符号，再构造一个函数h（x）=x﹣lnx﹣2，x＞1，对其再进行求导，h′（x）=1﹣=＞0，显然h（x）在（1，+∞）单调递增，经计算确定h（x）在（3，4）内存在实根x0，所以当x∈（1，x0）时，h（x）＜0，即g′（x）＜0；当x∈（x0，+∞）时，h（x）＞0，即g′（x）＞0，所以g（x）min=g（x0）==∈（3，4），可得解.

试题解析：（1）由已知得f′（x）=a+lnx+1，故f′（e）=3，∴a+lne+1=3，

∴a=1

（2）由（1）知，f（x）=x+xlnx

等价于k＜对任意x＞1恒成立

令g（x）=，则g′（x）=

令h（x）=x﹣lnx﹣2，x＞1，

则h′（x）=1﹣=＞0

∴h（x）在（1，+∞）上单调增加，

∵h（3）=1﹣ln3＜0，h（4）=2﹣2ln2＞0，

∴h（x）在（1，+∞）上在唯一实数根x0，满足x0∈（3，4），且h（x0）=0

当x∈（1，x0）时，h（x）＜0，∴g′（x）＜0；当x∈（x0，+∞）时，h（x）＞0，∴g′（x）＞0，

∴g（x）=在（1，x0）上单调递减，在（x0，+∞）上单调递增

∴g（x）min=g（x0）==∈（3，4），

∴k＜g（x）min=x0∈（3，4），

∴整数k的最大值为3．

点晴:本题主要考查函数在某点的切线的斜率，及不等式恒成立求参数问题.要求在某点的切线，求导得斜率，用点斜式表示切线方程即可;要证明不等式恒成立问题可变量分离转化为构造新函数求其值最值即可.这类问题的通解方法就是：划归与转化之后，就可以假设相对应的函数，然后利用导数研究这个函数的单调性、极值和最值，图像与性质，进而求解得结果.