题目内容
【题目】【2018海南高三阶段性测试(二模)】如图,在直三棱柱中,
,
,点
为
的中点,点
为
上一动点.
(I)是否存在一点,使得线段
平面
?若存在,指出点
的位置,若不存在,请说明理由.
(II)若点为
的中点且
,求三棱锥
的体积.
【答案】(I)见解析(II)
【解析】试题分析:
(1)存在点,且
为
的中点.连接
,
,由三角形中位线的性质可得
,结合线面平行的判定定理可得
平面
.
(2)由题意结合勾股定理可求得.以点
为坐标原点,
为
轴,
为
轴,
为
轴建立空间直角坐标系,可得平面
的一个法向量为
,平面
的一个法向量为
,据此计算可得二面角
的正弦值为
.
试题解析:
(1)存在点,且
为
的中点.证明如下:
如图,连接,
,点
,
分别为
,
的中点,
所以为
的一条中位线,
,
又平面
,
平面
,所以
平面
.
(2)设,则
,
,
,
由,得
,解得
.
由题意以点为坐标原点,
为
轴,
为
轴,
为
轴建立如图所示的空间直角坐标系,可得
,
,
,
,
故,
,
,
.
设为平面
的一个法向量,则
得
令,得平面
的一个法向量
,
同理可得平面的一个法向量为
,
故二面角的余弦值为
.
故二面角的正弦值为
.
![](http://thumb2018.1010pic.com/images/loading.gif)
练习册系列答案
相关题目