Question

3．在数列{a_n}中，a_n+1＞a_n，a₁=1且（a_n+1-a_n）²-2（a_n+a_n+1）+1=0，猜想{a_n}的通项公式，并证明你的猜想．

Answer 1

分析 通过计算出前几项的值猜想通项公式并用数学归纳法证明即可．

解答 解：依题意，$（{{a}_{2}-1）}^{2}$-2（1+a₂）+1=0，
化简得：${{a}_{2}}^{2}$=4a₂，
解得：a₂=4或a₂=0（舍）；
（a₃-4）²-2（4+a₃）+1=0，
化简得：${{a}_{3}}^{2}$-10a₃+9=0，
解得：a₃=9或a₃=1（舍）；
（a₄-9）²-2（9+a₄）+1=0，
化简得：${{a}_{4}}^{2}$-10a₄+9=0，
解得：a₄=16或a₄=4（舍）；
猜想：a_n=n²．
下面用数学归纳法来证明：
①当n=1时，显然成立；
②当n=k（k≥2）时，有a_k=k²，
∵（a_k+1-a_k）²-2（a_k+a_k+1）+1=0，
∴（a_k+1-k²）²-2（k²+a_k+1）+1=0，
化简得：${{a}_{k+1}}^{2}$-2（k²+1）a_k+1+（k²+2k+1）（k²-2k+1）=0，
∴a_k+1=k²+2k+1或a_k+1=k²-2k+1（舍），
∴a_k+1=k²+2k+1=（k+1）²，即当n=k+1时结论成立；
由①、②可知：a_n=n²．

点评 本题考查数列的通项，考查数学归纳法，注意解题方法的积累，属于中档题．