题目内容
13．已知△ABC的三个内角∠A，∠B，∠C所对的边分别为a，b，c，asinAsinB+bcos2A=2a．（1）求$\frac{b}{a}$；
（2）若c=$\sqrt{3}$a，求∠C．
分析 （1）利用正弦定理化简已知的等式，整理后利用同角三角函数间的基本关系化简，得到sinB=2sinA，再利用正弦定理化简，即可得到所求式子的值；
（2）由余弦定理可求cosC=$\frac{1}{2}$，结合C的范围即可得解．
解答 解：（1）由正弦定理化简已知的等式得：sin2AsinB+sinBcos2A=2sinA，
即sinB（sin2A+cos2A）=2sinA，
∴sinB=2sinA，
再由正弦定理得：b=2a，
则$\frac{b}{a}$=2；
（2）∵由（1）可得b=2a，c=$\sqrt{3}$a，
∴由余弦定理可得：cosC=$\frac{{a}^{2}+{b}^{2}-{c}^{2}}{2ab}$=$\frac{{a}^{2}+4{a}^{2}-3{a}^{2}}{2×a×2a}$=$\frac{1}{2}$，
∴由C为三角形内角，可得∠C=$\frac{π}{3}$．
点评 此题考查了正弦、余弦定理，同角三角函数间的基本关系，以及余弦函数的单调性，熟练掌握定理是解本题的关键，属于基础题．
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