Question

15．证明函数y=x³在定义域上是增函数．

Answer 1

分析 根据增函数的定义，设任意的x₁，x₂∈R，且x₁＜x₂，通过作差证明y₁＜y₂即可．

解答 证：设x₁，x₂∈R，且x₁＜x₂，则：
${y}_{1}-{y}_{2}={{x}_{1}}^{3}-{{x}_{2}}^{3}$=$（{x}_{1}-{x}_{2}）（{{x}_{1}}^{2}+{x}_{1}{x}_{2}+{{x}_{2}}^{2}）$=$（{x}_{1}-{x}_{2}）[（{x}_{1}+\frac{1}{2}{x}_{2}）^{2}+\frac{3}{4}{{x}_{2}}^{2}]$；
∵x₁＜x₂；
∴x₁-x₂＜0，$（{x}_{1}+\frac{1}{2}{x}_{2}）^{2}+\frac{3}{4}{{x}_{2}}^{2}＞0$；
∴y₁＜y₂；
∴函数y=x³在定义域R上是增函数．

点评 考查增函数的定义，利用增函数的定义证明函数为增函数的方法及过程，配方法的运用，也可通过导数证明该题．