Question

【题目】不等式ex≥kx对任意实数x恒成立，则实数k的最大值为 ．

Answer 1

【答案】e
【解析】解：不等式ex≥kx对任意实数x恒成立，即为

f（x）=ex﹣kx≥0恒成立，

即有f（x）min≥0，

由f（x）的导数为f′（x）=ex﹣k，

当k≤0，ex＞0，可得f′（x）＞0恒成立，f（x）递增，无最大值；

当k＞0时，x＞lnk时f′（x）＞0，f（x）递增；x＜lnk时f′（x）＜0，f（x）递减．

即有x=lnk处取得最小值，且为k﹣klnk，

由k﹣klnk≥0，解得k≤e，

即k的最大值为e，

所以答案是：e．