题目内容

12.已知函数f(x)满足$f(x+1)=\frac{2f(x)}{f(x)+2}$,f(1)=1,(x∈R,x≠-1).
(1)分别计算f(2)、f(3)、f(4)的值,并猜函数f(x)的表达式;(不需要证明)
(2)求集合A={x|f(x)<x}.

分析 (1)由已知中函数f(x)满足$f(x+1)=\frac{2f(x)}{f(x)+2}$,f(1)=1,逐项代入可得f(2)、f(3)、f(4)的值,分析函数值与自变量的关系,可猜函数f(x)的表达式;
(2)由f(x)<x,得$\frac{2}{x+1}<x$,解得集合A.

解答 解:(1)∵函数f(x)满足$f(x+1)=\frac{2f(x)}{f(x)+2}$,f(1)=1,
∴$f(1)=1=\frac{2}{2}$,
$f(2)=\frac{2f(1)}{f(1)+2}=\frac{2}{3}$,…(1分)
$f(3)=\frac{2f(2)}{f(2)+2}=\frac{{2×\frac{2}{3}}}{{\frac{2}{3}+2}}=\frac{2}{4}$,…(2分)  
$f(4)=\frac{2f(3)}{f(3)+2}=\frac{{2×\frac{2}{4}}}{{\frac{2}{4}+2}}=\frac{2}{5}$,…(3分)
∴猜想:$f(x)=\frac{2}{x+1}$.…(6分)
(2)由f(x)<x,得$\frac{2}{x+1}<x$,
∴$\frac{2-x(x+1)}{x+1}<0$,…(8分)
∴$\frac{{{x^2}+x-2}}{x+1}>0$,
∴$\frac{(x-1)(x+2)}{x+1}>0$,
∴(x+2)(x+1)(x-1)>0,
∴-2<x<-1或x>1,…(13分)
∴集合A={x|-2<x<-1或x>1}.…(14分)

点评 本题考查的知识点是归纳推理,函数求值,解分式不等式,难度不大,属于基础题.

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