Question

20．定义$\frac{n}{{a}_{1}+{a}_{2}+…+{a}_{n}}$为n个正数a₁，a₂，…，a_n的“均倒数”，若已知数列{a_n}的前n项的“均倒数”为$\frac{1}{2n+1}$，则a_n=4n-1．

Answer 1

分析 通过“均倒数”的定义可知a₁+a₂+…+a_n=n•（2n+1）、a₁+a₂+…+a_n+a_n+1=（n+1）•（2n+3），两者作差计算即得结论．

解答 解：由题可知：$\frac{n}{{a}_{1}+{a}_{2}+…+{a}_{n}}$=$\frac{1}{2n+1}$，
∴a₁+a₂+…+a_n=n•（2n+1），
∴a₁+a₂+…+a_n+a_n+1=（n+1）•（2n+3），
两式相减得：a_n+1=（n+1）•（2n+3）-n•（2n+1）=4（n+1）-1，
又∵$\frac{1}{{a}_{1}}$=$\frac{1}{3}$，即a₁=3满足上式，
∴a_n=4n-1，
故答案为：4n-1．

点评 本题考查数列的通项，注意解题方法的积累，属于中档题．