Question

12．已知函数$f（x）={log_a}\frac{1-mx}{x-1}（a＞0，a≠1）$是奇函数．
（1）求实数m的值；
（2）是否存在实数p，a，当x∈（p，a-2）时，函数f（x）的值域是（1，+∞）．若存在，求出实数p，a；若不存在，说明理由；
（3）令函数g（x）=-ax²+6（x-1）a^f（x）-5，当x∈[4，5]时，求函数g（x）的最大值．

Answer 1

分析 （1）利用奇函数的定义，即可求实数m的值；
（2）分类讨论，利用当x∈（p，a-2）时，函数f（x）的值域是（1，+∞），可得结论；
（3）g（x）=-ax²+6x+1x∈[4，5]且a＞0，a≠1，分类讨论，求出函数g（x）的最大值．

解答 解：（1）∵函数$f（x）={log_a}\frac{1-mx}{x-1}（a＞0，a≠1）$是奇函数．
∴f（-x）+f（x）=0解得m=±1
又 m=1时，表达式无意义，所以m=-1…（2分）
（2）由题设知：函数f（x）的定义域为（1，+∞）∪（-∞，-1），
①当p＜a-2≤-1时，有0＜a＜1．此时f（x）为增函数，
其值域为$（1，+∞）知\left\{\begin{array}{l}log\frac{1+n}{n-1}=1\\ a-2=-1\end{array}\right.$（与题设矛盾，无解）；…（5分）
②当1≤p≤a-2时，有a＞3．此时f（x）为减函数，
其值域为（1，+∞）知$\left\{\begin{array}{l}p=1\\{log_a}\frac{a-1}{a-3}=1，得a=2+\sqrt{3}，p=1.\end{array}\right.$…（8分）
符合题意
综上①②：存在这样的实数p，a满足条件，$p=1，a=2+\sqrt{3}$…（9分）
（3）∵g（x）=-ax²+6（x-1）a^f（x）-5，$f（x）={log_a}\frac{1+x}{x-1}$
∴g（x）=-ax²+6x+1x∈[4，5]且a＞0，a≠1
①当$\frac{3}{a}≤4⇒a≥\frac{3}{4}，a≠1$时，函数g（x）在[4，5]上单调递减
所以g（x）_max=g（4）=-16a+25…（11分）
②当$\frac{3}{a}≥5⇒0＜a≤\frac{3}{5}$时，函数g（x）在[4，5]上单调递增
  所以g（x）_max=g（5）=-25a+31…（13分）
③当$\frac{3}{4}＜a＜\frac{3}{5}$时，函数g（x）在$[4，\frac{3}{a}]$上单调递增，在$[\frac{a}{3}，5]$上单调递减
所以$g{（x）_{max}}=g（\frac{a}{3}）=\frac{9}{a}+1$…15分
综上①②③，$g{（x）_{max}}=\left\{\begin{array}{l}-16a+25\begin{array}{l}{\;}&{a≥\frac{3}{4}，a≠1}\end{array}\\ \frac{9}{a}+1\begin{array}{l}{\;}&{\;}&{\;}&{\frac{3}{5}＜a＜\frac{3}{4}}\end{array}\\-25a+31\begin{array}{l}{\;}&{0＜a≤\frac{3}{5}}\end{array}\end{array}\right.$…（16分）

点评 本题考查函数的性质，考查分类讨论的数学思想，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．