题目内容
7.设命题$p:a∈\{y|y=\sqrt{-{x^2}+2x+8},x∈R\}$,命题q:关于x的方程x2+x-a=0有实根.(1)若p为真命题,求a的取值范围;
(2)若“p∧q”为假命题,且“p∨q”为真命题,求a的取值范围.
分析 (1)若p为真命题,根据根式成立的条件进行求解即可求a的取值范围;
(2)若“p∧q”为假命题,且“p∨q”为真命题,得到p与q一真一假,即可求a的取值范围.
解答 解:(1)由题意得,$y=\sqrt{-{x^2}+2x+8}=\sqrt{-{{(x-1)}^2}+9}∈[0,3]$
故p为真命题时a的取值范围为[0,3].
(2)故q为真命题时a的取值范围为$a≥-\frac{1}{4}$
由题意得,p与q一真一假,从而
当p真q假时有 $\left\{\begin{array}{l}0≤a≤3\\ a<-\frac{1}{4}\end{array}\right.$a无解;
当p假q真时有$\left\{\begin{array}{l}a<0或a>3\\ a≥-\frac{1}{4}\end{array}\right.$∴$a>3或-\frac{1}{4}≤a<0$.
∴实数a的取值范围是$[-\frac{1}{4},0)∪(3,+∞)$.
点评 本题主要考查复合命题的真假判断以及真假关系的应用,求出命题成立的等价条件是解决本题的关键.
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