Question

17．已知实数x，y满足x²+y²≤1，则
（1）（x+2）²+（y-2）²的最小值是9-4$\sqrt{2}$；
（2）|2x+y-4|+|6-x-3y|的最大值是15．

Answer 1

分析 （1）画出x²+y²≤1表示的平面区域，可得单位圆面，（x+2）²+（y-2）²的几何意义为单位圆面内的点与A（-2，2）的距离的平方，连接AO，与圆的交点即为所求；
（2）由于-1≤x≤1，-1≤y≤1，可去掉绝对值可得10-3x-4y，设10-3x-4y=t，当直线3x+4y+t-10=0与圆x²+y²=1相切时，t取得最值，计算即可得到所求最大值．

解答 解：（1）画出x²+y²≤1表示的平面区域，
可得单位圆面，（x+2）²+（y-2）²的几何意义为
单位圆面内的点与A（-2，2）的距离的平方，
连接AO，与圆的交点即为所求，可得最小值为
（|AO|-1）²=（$\sqrt{4+4}$-1）²=9-4$\sqrt{2}$；
（2）由于-1≤x≤1，-1≤y≤1，
可得-3≤2x+y≤3，-4≤x+3y≤4，
则|2x+y-4|+|6-x-3y|=4-2x-y+6-x-3y=10-3x-4y，
设10-3x-4y=t，当直线3x+4y+t-10=0与圆x²+y²=1相切时，t取得最值．
由相切的条件：d=r，即为$\frac{|t-10|}{\sqrt{{3}^{2}+{4}^{2}}}$=1，解得t=5或15．
故最大值为15．
故答案为：9-4$\sqrt{2}$，15．

点评 本题考查直线与圆的位置关系，注意运用圆外一点和圆上的点的距离的最大值为d+r，最小值为d-r，以及直线和圆相切的条件：d=r，考查运算能力，属于中档题．