Question

在数列{a_n}中,已知a₁=1,a₂=3,a_n+2= 3a_n+1- 2a_n.
(1)证明数列{ a_n+1- a_n}是等比数列,并求数列{a_n}的通项公式;
(2)设b_n=,{b_n}的前n项和为S_n,求证

Answer 1

⑴a_n=a₁+(a₂-a₁)+ (a₃-a₂)+…+(a_n- a_n-1)=1+2+2²+…+2^n-1==2ⁿ-1;
⑵b_n==log₂2ⁿ=n,S_n=,
,
所以
=2<2.

本题是中档题，考查等差数列的基本性质，考查计算能力，利用数列的前3项是等比数列建立方程是解题的关键．本题第二小题借用（1）结论用解方程组的方法求出数列通项，设计巧妙，值得借鉴
（1）由a_n+2= 3a_n+1- 2a_n得a_n+2- a_n+1= 2(a_n+1- a_n),a₂-a₁=2,
所以,{ a_n+1- a_n}是首项为2,公比为2的等比数列,从而得到结论。
(2)因为b_n=n,那么结合已知关系式得到裂项求和，从而求解得到结论。