题目内容
【题目】如图，已知四棱锥
，侧面
是正三角形，底面
为边长2的菱形，
，
.
（1）设平面
平面
，求证：
；
（2）求多面体
的体积；
（3）求二面角
的余弦值.
【答案】（1）证明见解析；（2）
；（3）
.
【解析】
（1）由
，证得
平面
，再由线面平行的性质，即可得到
；
（2）取
中点
，连结
，推得
，
，得到
平面
，
再由多面体
的体积
，结合体积公式，即可求解；
（3）由
，设
的中点为
，连结
，推得
，从而得到
就是二面角
的平面角，由此可求得二面角的余弦值.
证明：（1）因为
平面
平面
，
所以平面，
又
平面
，平面
平面
，所以；
（2）取中点，连结，由
得，
同理，又因为
，所以平面，
在
中，
，所以
，
所以多面体的体积
；
（3）由题意知，底面
为边长2的菱形，
，
所以
，又
，所以，
设的中点为，连结，
由侧面是正三角形知，
，所以，
因此就是二面角的平面角，
在
中，
，
，
由余弦定理得
，
二面角的余弦值为.
练习册系列答案
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【题目】某商场在促销期间规定：商场内所有商品按标价的80%出售，同时当顾客在该商场内消费满一定金额后，按如下方案获得相应金额的奖券：
消费金额（元）的范围 |
|
|
|
| …… |
获得奖券的金额（元） | 28 | 58 | 88 | 128 | …… |
根据上述促销方法，顾客在该商场购物可以获得双重优惠.例如：购买标价为400元的商品，则消费金额为320元，然后还能获得对应的奖券金额为28元.于是，该顾客获得的优惠额为：
元.设购买商品得到的优惠率
.试问：
（1）购买一件标价为1000元的商品，顾客得到的优惠率是多少？
（2）当商品的标价为
元时，试写出顾客得到的优惠率y关于标价x元之间的函数关系式；
（3）当顾客购买标价不超过600元的商品时，该顾客是否可以得到超过30%的优惠率？试说明理由.
