题目内容
【题目】已知函数,
.
(Ⅰ)当时,求函数
在区间
上的最值;
(Ⅱ)若,
是函数
的两个极值点,且
,求证:
.
【答案】(Ⅰ) 最小值为,最大值为
; (Ⅱ)证明见解析。
【解析】
(Ⅰ)求出函数f(x)的定义域,运用导函数判断函数的单调性,求解函数的最值即可.
(Ⅱ)x1,x2是函数的两个极值点,所以
(x1)=
(x2)=0.令
通过
及
构造函数
,利用函数的导数判断函数的单调性,推出
,所以
,即可证明结论.
(Ⅰ)当时,
,函数
的定义域为
,
所以,
当时,
,函数
单调递减;
当时,
,函数
单调递增.
所以函数在区间
上的最小值为
,
又,
显然
所以函数在区间
上的最小值为
,最大值为
.
(Ⅱ)因为
所以,因为函数
有两个不同的极值点,
所以有两个不同的零点.
因此,即
有两个不同的实数根,
设,则
,
当时,
,函数
单调递增;
当,
,函数
单调递减;
所以函数的最大值为
。
所以当直线与函数图像有两个不同的交点时,
,且
要证,只要证
,
易知函数在
上单调递增,
所以只需证,而
,所以
即证,
记,则
恒成立,
所以函数在
上单调递减,所以当
时
所以,因此
.
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