题目内容
【题目】已知中心在原点，焦点在x轴上的椭圆C的离心率为
，且经过点M(1，
），过点P(2,1）的直线l与椭圆C相交于不同的两点A，B.
（1）求椭圆C的方程；
（2）是否存在直线l，满足
？若存在，求出直线l的方程；若不存在，请说明理由．
【答案】（1）
；（2）存在，
.
【解析】试题分析（1）先设椭圆的标准方程，将点
代入得到一个方程，根据离心率得到一个关系式，再由
可得到
的值，进而得到椭圆的方程．（2）假设存在直线满足条件，设直线方程为
，然后与椭圆方程联立消去
得到一元二次方程，且方程一定有两根，故应
大于
得到
的范围，进而可得到两根之和、两根之积的表达式，再表示出
，再代入关系式
可确定的值，从而得解．
试题解析：(1）设椭圆C的方程为
，
由题意得
解得
.故椭圆C的方程为.
(2）若存在直线l满足条件，由题意可设直线l的方程为，由
得
.
因为直线l与椭圆C相交于不同的两点A，B，
设A，B两点的坐标分别为
，
所以
整理得
，解得
.
又
，
，且
即
，
所以
，
即
.
所以
，
解得
.
所以k＝
.于是存在直线l满足条件，
其方程为.
【题目】孝感市旅游局为了了解双峰山景点在大众中的熟知度，从年龄在15～65岁的人群中随机抽取n人进行问卷调查，把这n人按年龄分成5组：第一组[15,25)，第二组[25,35)，第三组[35,45)，第四组[45,55)，第五组[55,65]，得到的样本的频率分布直方图如右：
调查问题是“双峰山国家森林公园是几A级旅游景点？”每组中回答正确的人数及回答正确的人数占本组的频率的统计结果如下表.
组号 | 分组 | 回答正确的人数 | 回答正确的人数占本组的频率 |
第1组 | [15,25) | 5 | 0.5 |
第2组 | [25,35) | 18 | x |
第3组 | [35,45) | y | 0.9 |
第4组 | [45,55) | 9 | a |
第5组 | [55,65] | 7 | b |
(1)分别求出n，x，y的值；
(2)从第2,3,4组回答正确的人中用分层抽样的方法抽取6人，求第2,3,4组每组各抽取多少人；
(3)在(2)抽取的6人中随机抽取2人，求所抽取的两人来自不同年龄组的概率．
