题目内容
【题目】如图,在平面直角坐标系xOy中,已知为椭圆
的上顶点,P为椭圆E上异于上、下顶点的一个动点.当点P的横坐标为
时,
.
(1)求椭圆E的标准方程;
(2)设M为x轴的正半轴上的一个动点.
①若点P在第一象限内,且以AP为直径的圆恰好与x轴相切于点M,求AP的长.
②若,是否存在点N,满足
,且AN的中点恰好在椭圆E上?若存在,求点N的坐标;若不存在,请说明理由.
【答案】(1);(2)①
;②存在点
满足题意.
【解析】
(1)根据题意可知,可求出P点坐标,代入方程求出
即可;
(2)①设,则可表示出圆心坐标可设为
,
,根据圆的性质
及点P在椭圆上列出方程组求解即可;
②设,
,根据
, AN的中点恰好在椭圆E上,且
得到
点坐标,即可求解.
(1)因为是椭圆E的上顶点,所以
.
当点P的横坐标为时,
.
设,则
,解得
,
所以椭圆E的标准方程为.
(2)①设,则以AP为直径的圆的圆心坐标可设为
.
又因为,所以
.
因为,所以
,
得.
因为点P在椭圆E上,所以,
与联立解得
(负值舍去),
所以.
②设,
.
因为,
所以,
解得,
所以AN的中点坐标为
因为AN的中点在椭圆E上,
所以.(*)
因为,所以
.
因为点P在椭圆E上,
所以,(**)
与联立消去
得
.
又因为,所以
,
代入(*)式和(**)式得
消去m得.
又因为.所以
,
代入(**)式和,
解得(负值舍去),
故.
综上,存在点,满足
且AN的中点恰好在椭圆E上.
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