Question

【题目】在1与2之间插入个正数，使这个数成等比数列；又在1与2之间插入个正数，使这个数成等差数列.记.

（1）求数列和的通项；

（2）当时，比较与大小并证明结论.

Answer 1

【答案】（1）；（2）；证明见解析；

【解析】

（1）由1，，，，，，成等比数列，结合等比数列的性质可得，，从而可求；1，，，，，，2这个数成等差数列．利用等差数列的性质可得从而可求．

（2）由（1）可求，，转化比较，的大小，先取，8，9代入计算，观察与的大小，做出猜想，利用数学归纳法进行证明．

（1），，，，，2成等比数列，

，

，

．

，，，，，2成等差数列，

，

．

所以，数列的通项，数列的通项．

（2），，

，，

要比较和的大小，只需比较与的大小，

也即比较当时，与的大小．

当时，，，得知，

经验证，时，均有命题成立．

猜想当时有．用数学归纳法证明．

①当时，已验证，命题成立．

②假设时，命题成立，即，

那么，

又当时，有，

．

这就是说，当时，命题成立．

根据①、②，可知命题对于都成立．

故当时，．