题目内容
【题目】已知函数.
(1)求证:当时,对任意
恒成立;
(2)求函数的极值;
(3)当时,若存在
且
,满足
,求证:
.
【答案】(1)见解析 (2)极小值,无极大值. (3)见解析
【解析】
(1)求导得到,即
,函数单调递增,得到证明.
(2),讨论
和
两种情况,分别计算极值得到答案.
(3)在
上为增函数,当
时不成立,不防设
,计算得到
,
即证
,设
,只需证
,计算最值得到证明.
(1)
,
,
在
上为增函数,
所以当时,恒有
成立;
(2)由
当在
上为增函数,无极值
当
在
上为减函数,在
上为增函数,
有极小值
,无极大值,
综上知:当无极值,
当有极小值
,无极大值.
(3)当在
上为增函数,
由(2)知,当,
在
上为增函数,
这时,在
上为增函数,
所以不可能存在,
满足且
所以有
现不防设得:
①
②
由①②式可得:
即
又
③
又要证即证
即证……④
所以由③式知,只需证明:即证
设,只需证
,即证:
令
由在
上为增函数,
成立,
所以由③知,成立,
所以成立.
![](http://thumb2018.1010pic.com/images/loading.gif)
【题目】近年来,网络电商已经悄然进入了广大市民的日常生活,并慢慢改变了人们的消费方式为了更好地服务民众,某电商在其官方APP中设置了用户评价反馈系统,以了解用户对商品状况和优惠活动的评价现从评价系统中随机抽出200条较为详细的评价信息进行统计,商品状况和优惠活动评价的2×2列联表如下:
对优惠活动好评 | 对优惠活动不满意 | 合计 | |
对商品状况好评 | 100 | 20 | 120 |
对商品状况不满意 | 50 | 30 | 80 |
合计 | 150 | 50 | 200 |
(I)能否在犯错误的概率不超过0.001的前提下认为优惠活动好评与商品状况好评之间有关系?
(Ⅱ)为了回馈用户,公司通过APP向用户随机派送每张面额为0元,1元,2元的三种优惠券用户每次使用APP购物后,都可获得一张优惠券,且购物一次获得1元优惠券,2元优惠券的概率分别是,
,各次获取优惠券的结果相互独立若某用户一天使用了APP购物两次,记该用户当天获得的优惠券面额之和为X,求随机变量X的分布列和数学期望.
参考数据
P(K2≥k) | 0.150 | 0.100 | 0.050 | 0.025 | 0.010 | 0.005 | 0.001 |
k | 2.072 | 2.706 | 3.841 | 5.024 | 6.635 | 7.879 | 10.828 |
参考公式:K2,其中n=a+b+c+d
【题目】一饮料店制作了一款新饮料,为了进行合理定价先进行试销售,其单价(元)与销量
(杯)的相关数据如下表:
单价 | 8.5 | 9 | 9.5 | 10 | 10.5 |
销量 | 120 | 110 | 90 | 70 | 60 |
(1)已知销量与单价
具有线性相关关系,求
关于
的线性回归方程;
(2)若该款新饮料每杯的成本为8元,试销售结束后,请利用(1)所求的线性回归方程确定单价定为多少元时,销售的利润最大?(结果四舍五入保留到整数)
附:线性回归方程中斜率和截距最小二乗法估计计算公式:
,
,
,
.