题目内容
【题目】已知直线,圆
.
(1)试证明:不论为何实数,直线
和圆
总有两个交点;
(2)当取何值时,直线
被圆
截得的弦长最短,并求出最短弦的长.
【答案】(1)证明见详解;(2),最短弦长为4.
【解析】
(1)根据圆的方程,得到圆心坐标与半径,再由点到直线距离公式,求出圆心到直线的距离
,比较
与
的大小,即可得出结果;
(2)先根据圆的性质,得到弦长(
是圆的半径,
是圆心到直线
的距离),由题意,得到直线
恒过点
,当
与直线
垂直时,所求弦长最短,从而可求出结果.
(1)因为圆的圆心为
,半径
,
圆心到直线的距离
,
而,即
,
∴不论为何实数,直线
和圆
总有两个交点;
(2)根据圆的性质可得:弦长的一半,圆心到弦的距离,圆的半径,三者满足勾股定理;
即弦长(
是圆的半径,
是圆心到直线
的距离),
而圆心,直线
恒过点
,
因此当与直线
垂直时,所求弦长最短.
此时,,
,
所求最短弦长为.
![](http://thumb2018.1010pic.com/images/loading.gif)
【题目】近年来,网络电商已经悄然进入了广大市民的日常生活,并慢慢改变了人们的消费方式为了更好地服务民众,某电商在其官方APP中设置了用户评价反馈系统,以了解用户对商品状况和优惠活动的评价现从评价系统中随机抽出200条较为详细的评价信息进行统计,商品状况和优惠活动评价的2×2列联表如下:
对优惠活动好评 | 对优惠活动不满意 | 合计 | |
对商品状况好评 | 100 | 20 | 120 |
对商品状况不满意 | 50 | 30 | 80 |
合计 | 150 | 50 | 200 |
(I)能否在犯错误的概率不超过0.001的前提下认为优惠活动好评与商品状况好评之间有关系?
(Ⅱ)为了回馈用户,公司通过APP向用户随机派送每张面额为0元,1元,2元的三种优惠券用户每次使用APP购物后,都可获得一张优惠券,且购物一次获得1元优惠券,2元优惠券的概率分别是,
,各次获取优惠券的结果相互独立若某用户一天使用了APP购物两次,记该用户当天获得的优惠券面额之和为X,求随机变量X的分布列和数学期望.
参考数据
P(K2≥k) | 0.150 | 0.100 | 0.050 | 0.025 | 0.010 | 0.005 | 0.001 |
k | 2.072 | 2.706 | 3.841 | 5.024 | 6.635 | 7.879 | 10.828 |
参考公式:K2,其中n=a+b+c+d