题目内容
【题目】已知抛物线的焦点为F,过F的直线交抛物线C于
,
两点.
(Ⅰ)当时,求
的值;
(Ⅱ)过点A作抛物线准线的垂线,垂足为E,过点B作EF的垂线,交抛物线于另一点D,求面积的最小值.
【答案】(Ⅰ);(Ⅱ)16.
【解析】
(Ⅰ)求出焦点坐标,设出方程,联立方程,结合韦达定理可求的值;
(Ⅱ)先求出直线的方程,结合弦长公式求出
,利用点到直线的距离求出
的高,表示出
的面积,结合基本不等式可得最小值.
(Ⅰ)由题意知,设直线AB的方程为
,
联立消去x得
.
由根与系数的关系得.当
时,
.
(Ⅱ)设,
,则
,
由(Ⅰ)知,所以
.
因为,
,所以
.
所以直线BD的方程为,即
.
联立方程组得消去x得
,
所以,
.
,
所以.
设点A到BD的距离为d,则.
所以,
当且仅当时等号成立,所以
面积的最小值为16.
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