题目内容

【题目】如图,ABCD为矩形,点AEBF共面,均为等腰直角三角形,且若平面⊥平面

)证明:平面平面ADF

)问在线段EC上是否存在一点G,使得BG∥平面若存在,求出此时三棱锥GABE与三棱锥的体积之比,若不存在,请说明理由.

【答案】)证明见解析;()存在,体积比为.

【解析】

(1)由题意得:由ABCD为矩形可得到BCAB,再由平面⊥平面可得到BCAF,所以AF⊥平面BCF,再根据面面垂直的判断定理可得到平面平面ADF

(2)通过已知条件可得到平面BCE∥平面ADF,延长EB到点H,使得BH =AF,得到ABHF是平行四边形,从而可得到HFDC是平行四边形,即有CHDF.,过点BCH的平行线,交EC于点G,此点G为所求的G点即存在,由EG=,可得到

)∵ABCD为矩形,∴BCAB

又∵平面ABCD⊥平面AEBFBC平面ABCD,平面ABCD平面AEBF=AB

BC⊥平面AEBF

又∵AF平面AEBF,∴BCAF

∵∠AFB=90°,即AFBF,且BCBF平面BCFBCBF=B

AF⊥平面BCF

又∵AF平面ADF,∴平面ADF平面BCF.

)∵BCADAD平面ADF,∴BC∥平面ADF.

均为等腰直角三角形,且90°

∴∠FAB=ABE=45°,∴AFBE,又AF平面ADF,∴BE∥平面ADF

BCBE=B,∴平面BCE∥平面ADF.

延长EB到点H,使得BH =AF,又BC AD,连CHHF,易证ABHF是平行四边形,

HFABCD,∴HFDC是平行四边形,∴CHDF.

过点BCH的平行线,交EC于点G,即BGCHDF,(DF平面CDF

BG∥平面CDF,即此点G为所求的G点,

如图:

BE=,∴EG=,又

所以

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